Метафизика числа

Станислав Кравченко

Вынужден сразу разочаровать собирателей гипотезной экзотики – представленные в настоящей работе воззрения на основания математики являются до противности хрестоматийно классическими и, если в работе и представлена некоторая «отсебятина», то она сводится, образно говоря, лишь к трактовке «последней значащей цифры после запятой». Однако и этого нередко бывает более, чем достаточно, чтобы вызвать праведный гнев джентльменов от философии и математики, носителей истинного знания, потому решено не опошлять священное звание «философия математики» настоящими физикалистскими примитивами, а, может быть, наоборот.

Поводом для написания настоящей работы послужила констатация в научной среде факта неудовлетворительного состояния оснований математики. Вот как это звучит в устах В.В. Целищева [3]:

Традиционным описанием проблем философии математики является описание того состояния оснований математики и ее философии, которое явилось естественным завершением попыток преодолеть кризис в основаниях математики, развившийся в начале ХХ в. Этот уже почти хрестоматийный материал хорошо известен читателю даже в самом простом нетехническом преподнесении (см. например, превосходную книгу М.Клайна “Математика: утрата определенности”), не говоря уже о массе более технических изложений, каковы например, “Введение в философию математики” Г.Лемана (H.Lehman “Intro­duction to the philosophy of mathematics”) или же “Философия математики” С.Корнера (Korner S. “The philosophy of mathematics”). Существует много других книг, в которых излагается материал, в той или иной мере связанный с достижениями в математической логике и основаниях математики, и во всех этих книгах фигурируют одни и те же имена и одни и те же проблемы – логицизм Фреге и Рассела, интуиционизм Брауэра и Гейтинга, формализм Гильберта и Неймана. Довольно охотно многие авторы соглашаются с мнением, которое четко было сформулировано А.Мостовским: “…Философские цели трех школ не были достигнуты, и … мы не ближе к полному пониманию математики, чем основатели этих школ. Вопреки этому, нельзя отрицать, что активность этих школ принесла огромное число новых важных открытий, которые углубили наше познание математики и ее отношение к логике. Как часто случается, побочные продукты оказались более важными, чем исходные цели основателей трех школ” [1]. В результате этого большая часть места в книгах отводится, с одной стороны, традиционному изложению взглядов трех школ, а с другой – интересным “побочным” результатам. Таким образом, создается иллюзия того, что философия математики продолжает быть активной частью философии, хотя, как недавно выразился Х.Патнэм, “ничего это (три великих школы) уже не работает” [2]

Больше того, многие полагают, что сама философия математики представляет не фундаментальные проблемы философии, а скорее, является результатом исторически случайного взаимодействия философии и математики. Так, Хао Ван полагает, что “интерес философов к основаниям математики возник как результат той исторической случайности, что Рассел и Фреге правильно или неправильно связали некоторые области математики с философией… Тем не менее, с устойчивостью этого интереса следует считаться, хотя и сожалея о бедности философии” [5]. В любом случае общепринятым мнением философской коммуны является то, что в философии математики в настоящее время наблюдается стагнация».

Конечно, «философия математики» представляет не фундаментальные проблемы философии, она тщится представить фундаментальное, вне математическое, потому как бы философское основание математики, но, безоговорочно верно, эта попытка действительно представляет серьезнейшую философскую проблему именно в силу центрального положения математики в науке и, соответственно, высочайшего уровня ее развития, что заведомо исключает любую попытку непрофессионального подхода. К чести математики представители этой дисциплины, понимая всю сложность положения любого «постороннего в их вотчине», сами проделали гигантскую работу и имеют весьма серьезные достижения в этом направлении.

Стройную научную систему математики и логики впервые разработал великий греческий учёный Аристотель (ученик Платона, воспитатель Александра Македонского). В своём логическом своде «Органон» («Категории», «Об истолковании», «Аналитики» 1-я и 2-я, «Топика») он создал раздел формальной логики силлогистику. Его труды оказали влияние на развитие логической науки во всём мире. В Европе до 17 века вся логика развивалась на основе аристотелевского учения. Влияние мировоззрения Аристотеля на научный мир сохраняется и по сей день.

Решающего успеха в превращении логики в математическую науку добился в 1847 году английский математик Джордж Буль (1815-1864), построив алгебру логики, названную в его честь булевой.

Поскольку поставлена задача поиска «оснований математики», то мысли великих были направлены на поиск исходных примитивов – набора аксиоматических утверждений, из которых было возможным построение простейших математических утверждений. Таким аксиоматическим множеством является, прежде всего, аксиомы натурального ряда чисел.

Множество натуральных чисел таково, что удовлетворяет следующим аксиомам:

Аксиома 1. Для любого натурального числа n: n'¹ 0.

Аксиома 2. Для любых натуральных чисел m и n: если m'=n', то m = n.

Аксиома 3. Пусть A является подмножеством множества w со следующими свойствами:

1.                  0 Î A;

2.                  для любого натурального числа n: если n Î A, то n' Î A.

Тогда A = w.

Эти аксиомы были введены Джузеппе Пеано в 1889 году.

Может быть математиков полностью удовлетворяют эти аксиомы. Для философа является очевидным и понятным, что математики не только не вышли, но и не могли выйти за пределы собственно понятия числа, как и за пределы понятия ряда, точнее структуры, образующей этот ряд. Для данного набора аксиом ее существование изначально по умолчанию предзадано, то есть изначально и по умолчанию предзадано существования числа «0», изначально по умолчанию предзадано существования числа «n'», изначально по умолчанию предзадано, что эти числа не равны, что означает существование изначально предзаданного критерия сравнения и самой возможности такого сравнения. Это означает, что по умолчанию предзадается существование структуры, внутренне различимой, по каким-то критериям принципиально не могущей быть самотождественной. Согласно Бенацеррафу, вопросы о существовании математических сущностей могут быть вообще обойдены, если понятие математического объекта заменить понятием места в математической структуре. В статье “Чем не должны быть числа” он приводит пример числа 2, которое должно пониматься не как некоторый абстрактный объект, а как то, что стоит после 1 и перед 3. Другими словами, указание на абстрактный объект 2 требует неявного указания на всю структуру натуральных чисел. Таким образом, с точки зрения обоснования аксиом натурального ряда требуется пояснить главный вопрос: вопрос существования структур, математически абстрагированных в необходимость существования по крайней мере двух разных чисел: n'¹0, причем чисто математическая конкретика с философской точки зрения не существенна. Важно, чтобы чисел должно быть не менее двух и чтобы они были разными, то есть существовал критерий сравнения. Кроме того, необходимо пояснить смысл существования функции из натуральных чисел в натуральные числа, то есть возможность операций над числами, хотя бы операции сложения двух чисел, поскольку все остальное множество операций и связанное с ним множество понятий являются логическими системами из этой операции. Потому переходим к математической логике.

Здесь вопрос стоит  совершенно аналогичным образом. Основная идея математической логики – формализация знаний и рассуждений. Центральным понятием математической логики является ``математическое доказательство''. Примечательно, что рассуждения в математической логике изучаются только с точки зрения формы, а не смысла, математическая логика оперирует только синтаксическими понятиями. Имеется соответствующая система аксиом и соответствующие алгебры. Причем, само исследуемое множество является как минимум не пустым, а все системное множество всех возможных логических операций можно исчислить комбинацией не более, чем двух логических операций:

- унарной операции отрицания;

- бинарной операции дизъюнкции.

Таким образом и здесь по умолчанию предполагается существование той же минимальной бинарной структуры, что и для аксиоматики натурального ряда, а логические операции оказываются операциями структурного исследования. В этом плане имеется соблазн определить математику как деятельность по формализации структурных аспектов реальности вообще. Такой вывод, конечно, не оригинален, он ожидаем. Сама наука есть упорядоченная система утверждений о действительности, то есть структурное образование по определению. Как отметил В.Я. Перминов [6]: «Деятельность навязывает нам объектную, причинную и временную структуру знания, поскольку знание, не определенное в этих категориях, безразлично для практики и, таким образом, не является знанием вообще». В философии математики наиболее влиятельным направлением, поддерживающим подобную точку зрения является структурализм, согласно которому математика говорит не о специфических математических объектах, а о структурах. В.В. Целищев в [8] отмечает:

«Теперь центр тяжести переносится на понятие структуры. Почти всеми признается, что математика состоит из структур. Но что такое структура с онтологической и эпистемологической точек зрения? И является ли это понятие более простым или удобным, или более фундаментальным, чем понятие абстрактного объекта? Это тот самый вопрос, который пытаются разрешить Резник и Шапиро в целой серии влиятельных статей и книг. Н.Бурбаки полагал, что понятие структуры является более фундаментальным, чем все остальные понятия математики. Сходным образом формулируются посылки Резника и Шапиро. Если структура понимается как область объектов с определенными отношениями между ними, т.е. понимается как структура, изучаемая в математической логике, то тогда нужно иметь в виду, что в математической логике структура определяется теоретико-множественным образом. Но в этом случае следует весьма радикальное заключение, что теория множеств представляет собой дисциплину наравне с другими ветвями математики, но никак не основанием всей математики. То есть теория множеств изучает одну из множества возможных структур. Например, арифметика является исследованием не натуральных чисел, а исследованием “натуральных структур”. Все это означает, что в этом случае нам нужно определение структуры, которое само не является теоретико-множественным понятием. Шапиро описывает структуру как “возможную систему объектов, находящихся в определенных отношениях друг к другу, когда игнорируются те свойства объектов, которые несущественны для этих отношений”. Например, в аксиоматической теории множеств Цермело–Френкеля игнорируется все, кроме отношения членства в множестве. Отметим, что это лишь описание понятия структуры, а не определение. Структуралисты в философии математики избегают давать подобные определения, поскольку само понятие структуры не очень подходит на роль базисного онтологического понятия, и в то же время не снимает эпистемологические проблемы. Понятие структуры не решает, а скорее, “рассасывает” эти проблемы в духе виттгенштейновской терапии».

Однако, существует и множество других философских направлений, пытающихся дать ответ на поставленный вопрос. Х.Патнэм дает краткий перечень устаревших и новых взглядов в философии математики:

логицизм (математика есть логика в чужом одеянии);

логический позитивизм (математические истины суть истины благодаря правилам языка);

формализм (теория множеств и неконструктивная математика суть просто “идеальное” – и само по себе бессмысленное – расширение “реальной” – конечной и комбинаторной – математики);

платонизм (согласно Геделю, реально существуют математические объекты, и человеческий ум имеет способность, отличающуюся в некоторой степени от восприятия, с помощью которой он приобретает все лучшие интуиции относительно поведения таких объектов);

холизм (Куайн полагал, что математика должна рассматриваться не как отдельная наука, а как часть всей науки и что необходимость квантификации над математическими объектами в случае достататочно богатого языка для эмпирических наук есть наилучшее свидетельство для “постулирования множеств с той же серьезностью, с какой мы относимся ко всякому онтологическому постулированию”; множества и электроны рассматривались Куайном на пару как нечто такое, что нужно постулировать в процессе научного исследования);

квазиэмпирический реализм (идея, о том, что есть нечто аналогичное эмпирическому исследованию в чистой математике);

модализм (мы можем переформулировать классическую математику таким образом, что вместо разговора о множествах, числах и других объектах будем просто утверждать возможность или невозможность определенных структур);

интуиционизм (принятие математических утверждений как значимых, и в то же время отказ от реалистических посылок относительно истин, например, бивалентности) [6].

Дж. Кетланд дополняет список:

номинализм (программа Х.Филда);

натурализм (программа П.Мэдди);

предикативный конструктивизм (программа С.Фефермана) [7].

Нужна надежная «путеводная нить», чтобы не запутаться таком конгломерате идей. Поэтому сделаем небольшое отступление от основной темы и рассмотрим вопрос истины, что это такое?

Современное энциклопедическое определение дает следующее определение понятию:

ИСТИНА - соответствие знания действительности; объективное содержание эмпирического опыта и теоретического познания. В истории философии истина понималась как соответствие знания вещам (Аристотель), как вечное и неизменное абсолютное свойство идеальных объектов (Платон, Августин), как соответствие мышления ощущениям субъекта (Д. Юм), как согласие мышления с самим собой, с его априорными формами (И. Кант). В современной логике и методологии науки классическая трактовка истины как соответствия знания действительности дополняется понятием правдоподобности - степени истинности и соответственно ложности гипотез и теорий.

ЗНАНИЕ, форма существования и систематизации результатов познавательной деятельности человека. Выделяют различные виды знания: обыденное ("здравый смысл"), личностное, неявное и др. Научному знанию присущи логическая обоснованность, доказательность, воспроизводимость познавательных результатов. Знание объективизируется знаковыми средствами языка (лучше – понятийными средствами языка).

Можно согласиться с тем, что ЗНАНИЕ есть систематизация познавательной деятельности, то есть, УПОРЯДОЧЕННАЯ СИСТЕМА УТВЕРЖДЕНИЙ о чем-то. Можно согласиться с тем, что существуют различные виды знаний и первичным критерием структурирования должен быть предмет знания, это самое «о чем-то». К примеру, существует масса весьма объемных РЕЛИГИОЗНЫХ знаний и скудные крохи атеизма, существуют знания врача и хироманта, алхимика и астролога, магические знания и знания боевых искусств, знания охотника и черного копателя, знания профессионального карманника и профессионального музыканта и так далее. Все это - ЗНАНИЯ, поскольку отвечают определению понятия. Из всей этой массы ЗНАНИЙ научное знание отличается только одним – научное знание есть упорядоченная система утверждений о действительности. В какой степени во всех других знаниях имеют место утверждения о действительности, в такой степени эти знания научны.

Немаловажным фактором в этой стартовой системе утверждений является методика получения знаний. Самих методик масса, они являются существенной функцией объекта знаний и вторичным критерием структурирования знаний. Когда объектом познания является реальная действительность, то, что «действует», то единственными методами получения новых знаний о ней является регистрация «действия» - событий реальной действительности и/или реструктуризация имеющейся базы фактов. Эти две методики являются следствием того фундаментального факта, что у нас нет непосредственного познания сущности, а регистрационная фактическая база в любой конкретный исторический момент является конечной. Этот момент является ключевым в понимании всей исследуемой понятийной системы. Мы не знаем, что собой «на самом деле» представляет исследуемая сущность, какова ее «настоящая» структура и есть ли она вообще. Действительность нам представляется множеством событий, каждое из которых трактуется как некое локальное изменение и представление о реальности формируется нами самими, исходя из анализа этих изменений. Поскольку за любой  исторический срок развития науки возможно зарегистрировать конечное число событий, причем для самого событийного поля никаких, даже потенциальных умозрительных ограничений не находится, эта конечность является существенной сложностью науки, поскольку имеет по крайней мере два следствия:

- регистрационная конечность событий при потенциальной необозримости всего событийного множества делают условными любую упорядоченную систему утверждений о действительности в любой конкретный исторический момент;

- регистрационная конечность событий  приводят к многозначности структурной упорядоченности систем утверждений о действительности в любой конкретный исторический момент.

Поэтому наличие нескольких конкурирующих теорий, прямо не противоречащих известному набору фактов, является не только отражением личных амбиций их авторов, но и показателем здоровья данного научного направления. Для нас же это небольшое отступление от главного вопроса важно в плане оценки энциклопедического определения.

Является существенно важным, что само понятие языка, в том числе и научного языка, является историческим. Текущая понятийная система существенно отличается от понятийной системы научного языка столетней давности. Более того, даже в одно и то же понятие, к примеру, в понятие «вакуума», сейчас вкладывается существенно иное содержание, чем сто лет назад.

Итак, если отбросить предвзятость, то в самом лучшем случае в любой конкретный исторический момент любая, соответствующая этому историческому моменту упорядоченная система утверждений на основе соответствующих историческому моменту системе понятий неизбежно оказывается условной и неоднозначной, фактором, обусловливающим необходимость дальнейшего развития науки, тем не менее, отвечающим известным на этот исторический момент регистрационным фактам. Можно ли в таком случае признать удовлетворительным исходное энциклопедическое определение:

ИСТИНА - соответствие знания действительности,

где эмпирический опыт гарантированно конечен, а теоретическое познание, основанное на этом опыте неоднозначно и формируется в гарантированно неполной, конечной и изменяющейся системе понятий?

Наверное, такое определение «ИСТИНЫ» не самое удачное. Оно тем более неудачно, поскольку содержит понятие «соответствие» без его наполнения. Между тем и знания химика, и знания алхимика, оба в чем-то «соответствуют» действительности, только степень соответствия совершенно различна. Показательны в этом плане и научные критерии: когда делается заявка на настоящее научное открытие, то ученые не обращаются к знаниям, там открытия нет, иначе оно не было бы открытием, они обращаются к действительности и ищут факты подтверждения или опровержения открытия. И подтверждение, как и опровержение ищется в действительности и критерием открытия служит действительность.  Поэтому, если под истиной понимать нечто, не подлежащее сомнению, то для науки:

ИСТИНА есть действительность.

И наоборот, только действительность и есть Истина.

И ни что более.

Любое утверждение о действительности, в том числе и настоящее, истиной быть принципиально не может, поскольку основано на заведомо неполной системе фактов и выражено в заведомо неполной понятийной системе.

 Только сама действительность является высшим судьей в научных спорах и только научные факты выносят любым знаниям окончательный, не подлежащий обжалованию, приговор.

С точки зрения такого понимания истины представляется откровенно ненаучным платонизм в философии математики. Математические объекты реально не регистрируются, значит – не действительны. Реально регистрируется только человеческая деятельность по обозначению этих абстрактных понятий. Более того, само понятие науки, ее деление на философию, математику, физику и прочее – суть чисто человеческое «изобретение», нет в Природе такого, как нет и чисто философских, математических, физических объектов.

Столь же непомерно завышенной является и абсолютизация математических истин. Они хороши ровно настолько, насколько соответствуют настоящей ИСТИНЕ – действительности и не более того. Но именно эта высокая степень соответствия практики математических выводов действительности позволяет утверждать, что в основаниях математики заложены весьма фундаментальные проявления действительности и их выявление – отнюдь не пустое занятие. Показательной в этом отношении является позиция Аристотеля:

“Если существуют математические предметы, то они должны либо находиться в чувственных вещах, как утверждают некоторые, либо быть отдельно от чувственных вещей (и это тоже некоторые говорят); а если они не существуют ни тем, ни другим путем, тогда они либо [вообще] не существуют, либо существуют в ином смысле: таким образом, [в этом последнем случае] спорным у нас будет [уже] не то, существуют ли они, но каким образом [они существуют]”. По мнению Стагирита, математические предметы не существуют ни отдельно от чувственных вещей, ни в самих чувственных вещах.

Что касается первой возможности, то Аристотель говорит, “что предметы математики нельзя отделять от чувственных вещей, как это утверждают некоторые, и что начало вещей—не в них”. Этими словами заканчивается “Метафизика”. Но математические предметы не существуют и в вещах. Они всего лишь определенные акциденции физических вещей, абстрагируемые умом: “[Свойства же], неотделимые от тела, но с другой стороны, поскольку они не являются состояниями определенного тела и [берутся] в абстракции, [изучает] математик”.

При обосновании математики Аристотель исходит из своего учения о сущности. «Есть ли числа, геометрические тела, плоскости и точки некоторые сущности или же нет» (Метафизика, III, 5, l001b 26-27), — вот вопрос, с которого он начинает. И отвечает на этот вопрос отрицательно: «Состояния, движения, отношения, расположения и соотношения не означают, по-видимому, сущности чего бы то ни было: ведь все они сказываются о каком-нибудь предмете (hypokeimenon), и ни одно из них не есть определенное нечто» (Метафизика, III, 5, l00lb 29-33).

Но если математические предметы не являются сущностями, то возникает вопрос об их способе бытия, то есть их онтологическом статусе: каким образом они существуют?

Математические предметы не могут существовать в чувственных вещах, говорит Аристотель, ибо тогда, во-первых, в одном и том же месте находились бы два тела, что невозможно, а, во-вторых, в таком случае нельзя было бы разделить какое бы то ни было физическое тело.

Допущение самостоятельного существования математических предметов приводит и к другим затруднениям. В самом деле, предметы и других математических наук —  астрономии, оптики и гармонии — тоже будут находиться тогда за пределами чувственных вещей.

Все эти соображения служат аргументами в пользу выводов, к которым приходит Аристотель, а именно:

1) математические предметы не являются сущностями в большей мере, нежели тела;

2) они не предшествуют онтологически чувственным вещам и бытию, но только логически;

3) а значит, они не могут существовать отдельно;

4) однако они не существуют и в чувственных вещах.

Стало быть, они вообще не имеют самостоятельного существования, какое имеют, согласно Аристотелю, только сущности — как чувственные, так и сверхчувственные.

Таким образом, Аристотель выяснил, чем математические предметы не являются. Теперь надо узнать, чем же они являются, каков способ их бытия. Математические предметы, согласно Аристотелю, возникают в результате выделения определенного свойства физических объектов, которое берется само по себе, а от остальных свойств этого объекта отвлекаются. Геометр, говорит Аристотель, помещает отдельно то, что в отдельности не дано. Такая операция абстрагирования, согласно Аристотелю, вполне правомерна. Более того, математик, выделяя таким образом предмет своего исследования и отвлекаясь от бесчисленного множества других свойств физических тел, в частности — от их движения, имеет дело с очень простым предметом, а потому его наука и оказывается самой точной. Чем проще предмет, тем точнее исследующая его наука; так, арифметика, абстрагирующаяся от величины и имеющая дело только с числом, точнее геометрии; геометрия же, имеющая дело с числом и с величиной, но абстрагирующаяся от движения, точнее физики. В физике же самое точное знание возможно относительно самого простого из движений — перемещения.

Но, несмотря на то, что математика — самая точная среди наук, она тем не менее имеет дело с предметом, который находится не в себе самом, а в другом. Предметы геометрии — точки, линии, плоскости, — это или пределы, или сечения физических тел, сечения в ширину, глубину или длину; стало быть, они не имеют реального бытия, а представляют собой продукт мысленного выделения определенного аспекта физического мира. Поэтому и наука, имеющая дело с тем, что существует в себе самом, с сущностями, онтологически первее той, которая имеет дело с предметом, находящимся «в другом». Не математика должна быть фундаментом для построения физики, как полагают те, для которых «математика стала... философией» (Метафизика, I, 9, 992а 31), а, напротив, физика скорее может претендовать на значение базисной, фундаментальной науки. Ведь именно она изучает «сущности», а значит, начала и причины природных явлений.

Однако и сама физика не является, по Аристотелю, подлинной первоосновой для других наук. Ведь физика изучает не все виды сущностей, а только один их род — природные сущности, причем главным образом с точки зрения их движения и изменения. Поскольку Аристотель допускает два вида сущностей — природные (подвижные) и сверхприродные, божественнее (вечные и неподвижные), то науками, изучающими эти сущности, будут физика и метафизика (первая философия, или теология — наука о божестве).

В философии исследуются общие основания всякого знания, поэтому она служит теоретическим базисом как для математики, так и для физики. Изучая высший род бытия, философия в то же время разрабатывает те категории и методологические принципы, которые кладут в основу своих исследований и физика, и математика. Так, физика изучает вещи, обладающие материей, но только философия в состоянии разрешить вопрос о том, что такое материя. Точно так же и математика пользуется в качестве своих исходных утверждений аксиомами, истинность которых не может быть доказана в самой математике: только философия, рассматривая каждый из предметов не отдельно, а «в отношении сущего как такового», в состоянии обосновать эти аксиомы. «Положение — "если от равного отнять равное, то остатки будут равны" — обще для всего количественного, а математика исследует, применяя его к определенной части своего предмета... философия же не рассматривает частичного.., а исследует каждое такое частичное лишь по отношению к сущему как сущему» (Метафизика, XI, 4, 1061b 20-27).

Однако, не все так просто, вышеприведенная точка зрения на вопросы ИСТИНЫ требует видеть в идеях школы Платона «свою сторону медали». Поскольку ИСТИНА есть действительность, то любые представления о действительности есть представления об истине, но не сама истина. Другими словами, все, без исключения, представления есть абстракции и математические представления в этом плане ничем не хуже любых других. У нас нет непосредственного познания сущностей и любой «предмет бытия» есть такой же образ сознания, как и математический предмет. Предельно четко по этому вопросу высказался Дэвид Юм: «Ум никогда не имеет перед собой никаких вещей, кроме восприятий, и они никоим образом не в состоянии произвести какой бы то ни было опыт относительно соотношения между восприятиями и объектами … Разум – раб аффектов и должен быть им, и он не может притязать ни на какое другое положение, кроме как быть в услужении и подчинении у аффектов». Современная физика предоставила нам достаточно сведений для осознания того факта, что, к примеру, «видит» не столько глаз человека, сколько его мозг. Глаз – сенсор, передающий в мозг сигналы о событиях поглощения фотонов, но представление об окружающей действительности создает мозг на основании этого сигнального потока. Причем, это представление соответствует достаточно узкому диапазону электромагнитных взаимодействий и, к примеру, в жестком рентгене представление о той же действительности будет существенно иным, как будет оно существенно иным и в радиодиапазоне. И это касается всего лишь одного из фундаментальных взаимодействий, которых известно четыре. Все это наталкивает на вывод, что основываться только на «видимой действительности», на традиционных бытовых и научных представлениях о «предметах» не более, но и не менее наивно, чем основываться на представлениях о «предметах математических». С этой точки зрения вопрос «исходных представлений» - дело вкуса исследователя, все суть абстракции, образы истины, ее упрощение и огрубление. И остается единственная «мерка» научного искусства исследователя: соответствие разработанного на основе выбранных представлений образа ИСТИНЕ – действительности. Потому, возвращаясь к предмету статьи, исходя из первого предварительного вывода о том, что в основе как математики, так и логики лежит представление о бинарной структуре и отношениях между ее элементами, вопрос следует конкретизировать: возможно ли создание структурного представления, не противоречащего ИСТИНЕ – действительности, которое могло бы оказаться фундаментом математических и логических основ? При этом представление следует основывать не столько не на выборе структуры и даже не на анализе самого понятия «структуры», сколько на рассмотрении первичного по отношению к понятию «структуры» понятия – «до структуры» или «не структуры», лучше уже традиционное для философии: «доструктурной сущности».

Возможный подход к решению вопроса предложен еще П. К. Рашевским в совершенно замечательной статье: «О догмате натурального ряда» [7]:

«Духу физики более соответствовала бы математическая теория целого числа, в которой числа, когда они становятся очень большими, приобретали бы в каком то смысле "размытый вид", а не являлись строго определенными членами натурального ряда, как мы это себе представляем. Существующая теория, так сказать, переуточнена: добавление единицы меняет число — а что меняет для физика добавление одной молекулы в сосуд с газом? Если мы согласимся принять эти соображения хотя бы за отдаленный намек на возможность математической теории нового типа, то в ней прежде всего пришлось бы отказаться о; идеи, что любой член натурального ряда получается последовательным насчитыванием единиц — идеи, которая буквально, конечно, не формулируется в существующей теории, но косвенно провоцируется принципом математической индукции. Вероятно, для "очень больших" чисел присчитывание единицы вообще не должно их менять (возражение, что присчитывая единицы, можно "присчитать" и любое число, не котируется в силу только что сказанного выше)».

Предел, к которому стремятся «очень большие числа», тем более «размытые, лишенные структуры, числа», есть бесконечность, понятие, высоко оцененное еще Аристотелем.

Приступая к анализу понятия бесконечности, он предупреждает, что здесь приходится ходить по очень зыбкой почве, рискуя постоянно натолкнуться на парадоксы и противоречия: ибо «много невозможного следует и за отрицанием его (бесконечного. — П.Г.) существования и за признанием» (Физика, III, 4, 203Ь). Но, несмотря на эти затруднения, возникающие при рассмотрении бесконечного, философия, по мысли Аристотеля, не может обойтись без такого рассмотрения. «А что бесконечное существует, — пишет Аристотель, — уверенность в этом скорее всего возникает у исследователей из пяти оснований: из времени (ибо оно бесконечно), из разделения величин (ведь и математики пользуются бесконечным); далее, что только таким образом не иссякнут возникновение и уничтожение, если будет бесконечное, откуда берется возникающее. Далее, из того, что конечное всегда граничит с чем-нибудь, так что необходимо, чтобы не было никакого предела, раз необходимо, чтобы оно всегда граничило с другим. Но больше всего и главнее всего — что доставляет для всех затруднение — на том основании, что мышление не останавливается: и число кажется бесконечным, и математические величины, и то, что лежит.за небом; а если лежащее за небом бесконечно, то кажется бесконечным тело и существует множество миров...» (Физика, III, 4, 203Ь). Интересно, что философ видит именно в бесконечности мышления («мышление не останавливается») одно из главных оснований для принятия бесконечного: деятельность мышления служит источником того, что бесконечными представляются и число, и величина, и протяженность космоса.

Однако в вопросе о бесконечном, говорит Аристотель, доверять мышлению нельзя; поэтому ко всем перечисленным основаниям, побуждающим принять бесконечное, надо подойти критически. Аристотель начинает исследование с критики платоновского и пифагорейского понятий бесконечного. И Платон, и пифагорейцы рассматривают бесконечное как сущность, а не свойство, не придикат чего-нибудь другого. В отличие от них натурфилософы считают бесконечное предикатом природных элементов, в зависимости от того, какой элемент каждый из них принимает за первоначало — воду, воздух или огонь. Аристотель не соглашается признать бесконечное ни сущностью, ни предикатом (сущности). Характерно возражение Аристотеля против платоновско-пифагорейской трактовки бесконечного как сущности: если принять, что бесконечное является сущностью, то оно должно мыслиться как неделимое. «...Если бесконечное — сущность и не относится к какому-нибудь подлежащему, — говорит Аристотель, — то «быть бесконечным» и «бесконечность» — одно и то же, следовательно, оно или неделимо или делимо до бесконечности, а быть одному и тому же предмету многими бесконечными невозможно. Однако, если оно сущность и начало, то как часть воздуха остается воздухом, так и часть бесконечного — бесконечным. Следовательно, оно неразделимо и неделимо. Однако невозможно бесконечному существовать актуально, ведь ему необходимо быть количеством. Бесконечное, следовательно, существует по совпадению... Поэтому нелепости утверждают те, которые говорят так же, как пифагорейцы: они одновременно делают бесконечное сущностью и делят его на части» (Физика, III, 5, 204а)9.

Аристотель считает, что платоники и пифагорейцы, рассматривая бесконечное как «сущность», должны мыслить его как нечто неделимое, а тем самым — как актуально бесконечное. Если же мыслить бесконечное как актуальное, то, согласно Аристотелю, невозможно объяснить такой «вид» бесконечного, как время и величина (а тем самым и движение), которые являются, по выражению Аристотеля, «количествами». Что же представляет собой этот вид бесконечного? В чем его отличие от актуально бесконечного? В том, что «будучи проходимо по природе», это бесконечное «не имеет конца прохождения или предела» (Физика, III, 4, 204а). Это — бесконечное потенциально, бесконечное в возможности, а не в действительности, осуществляемое, а не осуществленное, незавершенное и не могущее быть никогда завершенным. В этом смысле Аристотель говорит, что бесконечное — это «не то, вне чего ничего нет, а то, вне чего всегда есть что-нибудь» (Физика, III, 6, 206b).

Потенциально бесконечное существует как экстенсивно или интенсивно бесконечное, то есть или в результате сложения, или в результате деления, или того и другого вместе. Отличие потенциально бесконечного от бесконечного актуально состоит в том, что первое всегда имеет дело с конечным и есть не что иное, как беспредельное движение по конечному. Каждый раз, имеем ли мы дело с экстенсивной бесконечностью, например в процессе счета, или с интенсивной (в результате деления отрезка), мы на каждом из этапов движения по предмету получаем как угодно большую или как угодно малую, но всегда конечную величину. Тут как раз принцип непрерывности и оказывается принципом потенциальной бесконечности. «Вообще говоря, — пишет Аристотель, — бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное и иное, и взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным... Притом для величины это происходит с сохранением взятого, для времени и людей — вместе с их уничтожением, так однако, чтобы не было перерыва» (Физика, III, 6, 206b). Как понять смысл последнего замечания? В чем отличие величины от «времени и людей»? Это отличие Аристотель видит в том, что если величина, получаемая в результате деления, сохраняет в себе как бы «в снятом виде» пройденные этапы, становясь все меньше и меньше, то время, протекшее до настоящего момента, исчезает, не сохраняясь. Характерно, однако, что в этом последнем смысле, как говорит Аристотель, «бесконечное будет актуальным»10. Это замечание может ввести в заблуждение, если не принять во внимание оговорки Аристотеля, что «бесконечное как энтелехия» (т. е. осуществленное и в этом смысле актуальное) существует по совпадению; другими словами, актуальным будет «день или состязание», а не само бесконечное.

Итак, отвечая на вопрос о том, существует ли бесконечное, Аристотель формулирует один из кардинальных принципов своего учения: бесконечное существует потенциально, но не существует актуально. Иначе говоря, бесконечное не пребывает как нечто законченное, а всегда становится, возникает; оно не есть что-то действительное, а только возможное. Но отсюда с очевидностью следует, что бесконечное для Аристотеля есть материя, ибо именно материя определяется им с самого начала как возможность. «Бесконечное есть материя для завершенности величины и целое в потенции, а не актуально, оно Делимо путем отнятия и путем обращенного прибавления, а целым и ограниченным является не само по себе, а по-другому; и, поскольку оно бесконечно, не охватывает, а охватывается» (Физика, III, 6, 207а).

Хотя Аристотель и полемизирует с Платоном и пифагорейцами относительно логического и онтологического статуса бесконечного, тем не менее, определяя бесконечное как нечто неопределенное (ибо материя сама по себе, без формы, есть нечто неопределенное), он остается на почве характерной для греков «боязни бесконечного»; и эта почва является общей у него с другими греческими мыслителями, в том числе и с Платоном. Ведь и для Платона если нет единого, то ничто не может ни существовать, ни быть познаваемо, ибо беспредельное само по себе неуловимо для мышления. Аналогично рассуждает Аристотель, связывая бесконечное с материей (см.: Физика, Ш, 6,207а). И в самом деле, имея дело с потенциальной бесконечностью, мы всегда схватываем (то есть познаем) лишь конечное — бесконечность же выражается тут в том, что это конечное — «всегда иное и иное»11.

Любопытно, что Аристотель различает бесконечное от деления и бесконечное от прибавления (т. е. интенсивную и экстенсивную бесконечности) в одном отношении, а именно: бесконечное от прибавления не может превзойти всякую определенную величину, а бесконечное от деления — может. «Превзойти всякую величину путем прибавления невозможно даже потенциально, если только не будет по совпадению бесконечного, как энтелехии » (Физика, Ш, 6, 206b), о чем шла речь выше. Откуда же берется такое «неравенство» экстенсивной и интенсивной бесконечности? А дело в том, что бесконечное — это материя, оно не охватывает, а охватывается; в случае интенсивной бесконечности мы имеем определенную величину, допустим, отрезок известной длины; ограниченный двумя точками — границами, полагающими ему предел (границы эти суть момент формы), то есть охватывающими его. Здесь бесконечное охватывается своими «концами», деление происходит внутри охваченного. Напротив, когда речь идет об экстенсивной бесконечности, то величина неограниченно растет, и охватывать тут должна была бы уже не форма (ибо границы — формы — нет, она убегает в бесконечность), а сама материя, что, согласно ранее сказанному, невозможно.

Одним словом, величина может бесконечно уменьшаться, но она не может бесконечно расти. Обратное мы имеем в случае числа: оно может бесконечно расти, но не может бесконечно уменьшаться; ведь его нижний предел — единица — не может быть превзойден, иначе оно перестанет — для грека — быть числом.

Аристотелевское понимание бесконечности обусловливает его учение о конечности мира; согласно Аристотелю, не может существовать бесконечное чувственное воспринимаемое тело. Аргументация Аристотеля в пользу этого положения проливает дополнительный свет также и на рассмотренный нами тезис — о невозможности величине не только быть бесконечно-большой, но и становиться как угодно большой. Вот эта аргументация: «Что такое тело вообще невозможно, ясно из следующего. По природе все воспринимаемое чувствами находится где-нибудь, и есть известное место для каждой вещи, одно и то же для части и для целого, например, для всей земли и для отдельного комка, для огня и для искры. Так что если бесконечное тело однородно, оно будет неподвижным или вечно будет передвигаться. Однако это невозможно: почему оно будет внизу, а не вверху, или где бы то ни было? Я имею в виду, если будет, например, комок, куда он будет двигаться или где будет пребывать? Ведь место сродного ему тела бесконечно. Может быть, он захватит все место? А каким образом? Какое же и где будет его пребывание и движение? Или повсюду он будет пребывать? Тогда он не будет двигаться. Или повсюду он будет двигаться? Тогда он не остановится» (Физика, III, 5, 205а).

Аргументация эта выявляет предпосылки Аристотеля: невозможно мыслить бесконечное тело, потому что невозможно определять движение иначе, нежели через место. Место играет в физике Аристотеля роль некоторой абсолютной системы координат, по отношению к которой только и можно вести речь о движении любого тела. Абсолютное место — это и то, куда движется тело, и то, откуда оно движется: если не окажется ни верха, ни низа, то всякое тело будет дезориентировано в своем движении. Подобно тому, как всякое дихотомическое деление предполагает в качестве своего условия некоторую определенную величину, т. е. величину, ограниченную своими пределами, а без этого такое деление, по Аристотелю, невозможно, — подобно этому и условием возможности движения является нечто определенное, — а именно замкнутый (конечный) космос, имеющий свой верх и свой низ, центр и периферию, и только по отношению к этим абсолютным местам (как точкам отсчета) можно говорить об определенном движении, закон и порядок которого познаваем. В противном случае, по Аристотелю, вообще нельзя отличить движение от покоя, и непонятно, что будет побуждать тело к движению — ведь в бесконечном теле все места одинаковы. Тело либо «повсюду будет двигаться» (принцип инерции!), либо повсюду пребывать (что является тем же самым при условии допущения относительности движения).

Не все, сказанное Аристотелем о бесконечности, следует безоговорочно принимать. Однако, существенно важные черты им выявлены достаточно удачно, потому, переходя к понятию «доструктурная сущность» будем на них и основываться:

- под понятием «доструктурная сущность» будем понимать нечто, не имеющее регистрируемой внутренней или внешней структуры. Можно абсолютизировать понятие, потребовать более жесткой «деструктурности», но критерием все равно будет выступать действительность, об абсолютной не структурности которой говорить не приходится.

- вводя понятие «доструктурной сущности» мы, тем самым, наделяем ее свойством существования, делаем это понятие не пустым, более того, отличным от абсолютного «ничто».

- понятие «доструктурная сущность» исключает регистрацию в ней каких-либо «частей», «предметов», «объектов», внутреннюю не изотропность, в том числе какие-либо внутренние или внешние границы при любом масштабе укрупнения.

- наделение понятия «доструктурной сущности» свойством существования, начествования в сочетании с отсутствием внутренней дифференциации предполагает нелокальное, необъектное, распределенное проявление этого свойства сущностью. Это означает, непосредственная регистрация доструктурной сущности невозможна, возможно лишь регистрация «особенностей отношений» пробных объектов, при «исследовательском помещении» их в доструктурную сущность.

- понятием «доструктурная сущность» заканчивается любое структурное деление. Вопрос: из чего состоит «доструктурная сущность» бессмысленен, поскольку требование «из» - структурное требование.

Таким образом, понятие «доструктурная сущность» наиболее близким образом характеризует «внутреннее содержание» понятия «бесконечность».

Отметим другие, необходимые нам свойства бесконечности, не обозначенные (не верно обозначенные) Аристотелем:

- хотя «бесконечность» есть математическое понятие, в том числе  относящееся и к натуральному ряду, но «бесконечность» - не есть число, потому числовые операции над бесконечностью, к примеру, прибавление или вычитание – бессмысленны, понятие от этого не изменяется.

- топологически бесконечность (доструктурная сущность) замкнута.

При этом, как подчеркивал Аристотель и что не является откровением для математиков, что бесконечности существуют разные. Таким образом, вопрос конкретизируется еще более: возможно ли отношение между несколькими (хотя бы двумя) доструктурными сущностями, не нарушающее заявленные свойства? В частности, возможно ли отображение одной доструктурной сущности с одним параметром наличествования на другую доструктурную сущность с другим параметром наличествования конечным образом? Топологически проблем не предполагается – вполне допустимо, чтобы одно замкнутое множество оказалось частью другого замкнутого множества, то есть вопрос только в существовании такого множественного отображения. Геометрия дает на это однозначно положительный ответ: да, такое отображение существует, это – отображение в круге Пуанкаре. Если представить функциональную зависимость радиуса круга отображения как гиперболический тангенс величины отображаемого, то при любом внутреннем масштабе одна доструктурная сущность может быть отображена на другую доструктурную сущность замкнутым эллиптическим объектом единичного радиуса. Вопрос отношений этих двух доструктурных сущностей  разрешается естественным требованием не нарушения их проявления, как доструктурных сущностей. Поскольку эллиптическое отображение индуцирует эллиптическую метрику, то требование не нарушения проявления индуцирует в объемлющей доструктурной сущности гиперболическую псевдоевклидовую метрику, что находится в полном согласии с гиперболическим характером отображения. Суммарная риманова метрика при достаточном масштабе укрупнения при условии не нарушения свойства не выделяемости будет неотличима от евклидовой, при этом число эллиптических отображений на псевдоевклидовое должно быть бесконечным. Таким образом, допустив существование «до структуры» мы в результате получили глобальную бинарную структуру с заведомо отличными элементными свойствами и наличием вполне определенных отношений между этими элементами, которые можно охарактеризовать весьма фундаментальными отношениями сохранения, математически – равенства.

Остается лишь «примерить» полученный структурный образ к ИСТИНЕ, к действительности. Результаты такой «примерки» обнадеживающие:

- нет никаких наблюдательных оснований считать реальную действительность чем-то ограниченной;

- хотя до прошлого века вакуум считался «пустотой», но именно в прошлом веке выявлены вполне регистрационные распределенные характеристики вакуума, такие, к примеру, как волновое сопротивление, диэлектрическая проницаемость, магнитная проницаемость;

- наиболее удачные физические теории характеризуют объектное пространство, как псевдоевклидовое, а вакуум – как Лоренц-инвариантную среду отрицательной кривизны;

- нет незамкнутых физических «объектов»;

- наблюдается по крайней мере «верхний предел» структурной сложности космологических объектов, много выше которого Вселенная предстает «псевдоевклидовой пустотой»;

- фундаментальными физическими законами объектных отношений Вселенной являются прежде всего законы сохранения.  

Следствия:

  1. Появляются основания полагать, что в числовом множестве имеют место не столько евклидовые, сколько псевдоевклидовые отношения.
  2. Появляются основания полагать, что у «очень больших чисел» появляются «развивающиеся» (эволюционирующие) внутренние структуры. Другими словами, очень большие числа внутренне иррациональны.
  3. Появляются основания полагать, что маловероятна регистрация структур, не имеющих вышеуказанные бинарные отношения.
  4. Появляются основания полагать, что точка есть недостижимый идеал как в описании Вселенной, так и в описании числа.
  5. Появляется философско-математическое основание для гипотез «Метафизики событий» (http://www.new-idea.narod.ru/meta.htm), что и есть причина написания настоящей работы.

 

 

Примечания

 

1. Mostowski A. Thirty years of foundational studies // Acta Filosophica Fennica, 1963.

2. Putnam H. Philosophy of mathematics – why nothing works? // Putnam H. Words and life. – Harvard UP. –

3. Проблемно-ориентированный подход к науке: новая философия математики / Под ред. В.В.Целищева. – Новосибирск: Наука, 2001.

4. Hersh R. A fresh winds in the philosophy of mathematics // Amer. Math. Monthly. – 1995. Aug.-Sept. P. 590–591.

5. Хао Ван. Процесс и существование // Математическая логика и ее применение. – М., 1965. 

6. В.Я. Перминов Априорность и реальная значимость исходных представлений математики

7. П. К. Рашевский О догмате натурального ряда. Успехи математических наук, Т. XXVIII, Вып. 4(172), С-243-246, 1973.

8. В.В. Целищев Перспективы исследований в философии математики

Hosted by uCoz